通过去年暑假教研室董老师组织的生本课堂的培训，我渐渐认识、感受并走进生本教学，在实践生本这几个月的时间里，我和我们三年三班的同学们在新鲜感中开始了生本课堂探索之路，课堂是热闹了，作业写错的同学越来越多了，尤其是月考后三班数学成绩考的不好，我开始担心了，怀疑了…..。在这关键时刻，今天看到三位老师和同学们的精彩表演，我找到了继续走生本之路的动力，原来模糊了方向的生本之路变得清晰、真实。学生们课上快乐的举手，自信的语言，精彩的辩论，可爱的学习氛围…….让我激动，让我渴望！我想那些学生是我的学生，那位可亲、智慧的老师是我！为此我要：“热爱我的成长，热衷我的执着”，不断学习并坚持生本教学实践。

二、反思我的生本课堂，找到和名师的差距

概括我的课堂是热闹有余效率不高，只有形似没有神似，老师变成学生只提问题，学生变成演员按流程展示。我反思造成这样四不像课堂的原因是：

（1）老师学习和能力不够，从理论到具体措施做不到

心中有数，更谈不上结合实际灵活创新。

（2）学生培训还是不够，一方面是老师关于小组交流和展示的培训方法简单，模式化，没有系统性；另一方面是学生改变学习方式也需要时间，尤其是接受能力差的学生更是。

（3）没能做到每节课都采用生本，没有前置作业，就不会有讨论、展示。前置作业设计的不根本、开放就谈不上精彩的展示，重难点的突破。

这些只是我想到的还有些原因不知如何表达，还有好多原因没有发现。不管怎样差距是找也找不完的，那就根据今天学到的具体办法边实践边找差距吧！

三、学到两点需要迫切解决的问题的办法，观察效果摸索前行

设计前置作业时每次都会花好多时间，讲完课后还会有好几处不足。以后我会努力做到：

（1）抓住教学内容的重难点，想办法突破重难点，多看教材多分析多请教；

（2）出题时考虑孩子的兴趣点，为孩子好学服务；

（3）分析学生学习知识的生长点，让学生们能在思维的深度和广度上都有发展。题目设计由简到难，注意答案的灵活、开放。

讨论和展示时老师和同学们提的问题多关注声音大小、书写，学生不会说解题思路只是读算式。以后我会告诉台上孩子们交流时要多说：我是怎么想的、我认为怎么办、重点在哪里、发现什么规律……。简单题简单说，重点、难题要多说。我会告诉台下的孩子既要认真听又要跟着想及时补充和问不明的地方。我会不断提醒自己，检查前置作业完成情况，重点是差生，课前做到心中有数。交流前置作业要充分，要分配好任务，要组内统计答案，要把不同的说出来。小组展示

时要有耐心，尽量让多的小组展示。我也不能像以前那样站在旁边看，要发挥老师在课上的主导作用。我会认真听同学们的发言，跟着思考、理解他们的思维，学生说不相关的及时制止，学生没说充分的重难点及时追问，尽量启发，帮助总结提升。

总之，今天的培训带给我好多心情，好的想法，好多希望！感谢学校和董老师给我这次学习机会。路漫漫其修远兮，我将上下而求索，我会继续努力。

数学专业心得体会篇2

一学期的小专题研究已接近尾声，在这一学期的课题研究中，我品尝到了分组合作学习的甜头，在分组合作学习的教学中，我深深体会到分组合作学习的乐趣。

一、师生间的乐趣

在数学课堂合作与交流学习的过程中，教师是一位顾问、一位交换意见的参加者、一位帮助发现真理的人，是参与课堂活动的“平等中的首席”。因此，教师在学生合作与交流学习的过程中，时刻要变换自己的身份，时而是一个促进者，时而是一个合作者，时而是一个帮助者，时而是一个激励者。教师采取的都是一种友好的、建设性的态度和行为，既不能过多地干预学生思考的过程和结果，又不能对学生的困难和疑问袖手旁观。教师要把自己作为普通一员置身于学生群体之中，参加小组的讨论。在教学过程中，教师要选择合适的教学方法，创设出生动活泼的热烈氛围，把导课艺术、沟通情感、提问技巧、语言体态，板书设计和组织管理和谐地交融在一起，把动口、动手、动脑结合在一起，启发学生积极探索，让他们的思维处于最活跃的状态，让学生的交流能真正碰出智慧的火花。从而使数学知识变枯燥为生劲，使数学概念变抽象模糊为清晰，使学生学习转被动为主动。另外，教师要成为学生“学习的导师”，“合作伙伴”，“交往对象”。学生与教师之间不再是一种对峙的关系，而是一种和谐的交往。对学生而言，研究之初，他们需要教师的指导；研究之中，他们需要教师的帮助；获得成功时，他们需要教师的肯定和赞赏。小组合作学习路上有了教师这名特殊的合作伙伴的陪同，学生们不再寂寞，不再无助，也不再灰心，教师就如一股力量，给了学生不竭的研究动力，伴随他们走向成功。这样，师生的关系就建立在平等互助的基础上，使师生关系充满乐趣！

二、课堂上的乐趣

“没有合作的课堂教学，不是真正的课堂教学”有效的进行小组合作，既擦出智慧的火花，又激发学生的潜能，让学生在合作中探究来获得知识。在合作交流中根据学生的反应及时调控教学策略，适时引导，引导学生更好、更深入地进行探究，并让学生在合作交流中学会对自己学习过程的调节和学习效果的恰当的评价。在学生个体独立探究的基础上，让学生在小组内或班级集体范围内，充分展示自己的思维方法及过程，相互讨论分析，揭示知识规律和解决问题的方法、途径，让学生在合作交流中学会向别人解释自己的想法，倾听别人的想法，善待批评以审视自己的观点，学会相互接纳、赞赏、分享、互助，实现学习互补，增强合作意识，提高交往能力。在教学时，能放手就得放手，要让学生有施展才华的机会。由于学生个人认识问题的局限性，有些数学问题单靠一个人往往很难回答全面，这时如果采用小组合作学习的形成，让组内的每个成员相互讨论，相互补充，互相启发，可促进学生解题思路的快速生成。

例如：我在讲《圆锥的认识》的时候，不是直接叫同学找到底面圆心和高，可以结合农村生活实际，巧设情境——收获季节到了，晒谷场上有一堆谷子，李叔叔想知道这堆谷子有多高我们怎样才能量出这堆谷子的高度？同学们想想，你用什么方法能量出它的高度？这时候，就巧用小组合作的方法，让每组学生准备好一堆沙子，让学生从实际中找出圆锥的高。使学生身临其境地感受到“数学源于生活，而又应用于生活”，从而调动学生学习的兴趣。

总之，在小学数学教学中，教师要善于激发学生的求知欲望，使学生愿意合作学习，把握合作学习的契机，给学生提供参与的机会，培养学生的合作能力，使学生学会合作，从而使学生真正成为学习的主人。

数学专业心得体会篇3

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导读：“课内学习”与“课外阅读”是学好功课的两个重要方面，究竟应该如何处理好这两个方面？王永建老师的文章给我们很大的启发！

文 | 王永建

有人说：“课内打基础，课外出人才。”我看这种说法是有道理的。

人类千万年的生活，积累了丰富的文化。随着科学技术的飞速发展，科学文化知识的分类越来越细，内涵越来越丰富，一个人的一生绝对不可能全部去掌握的。中学所开的课程，是其中最基本的内容，它是同学今后做人、立业以及进一步学习的基础。所以，课堂学习是基础。

但是，课堂学习有一定的局限性，课时的限制，教材缺乏趣味性，以致不少同学认为数学苦涩难学。相反，有些同学课外阅读面广，促进了课内的学习。80年代，我曾多次到南京师范大学附属中学听课，这是一所全国著名的重点中学，学生从全省挑选，素质较高。当时，在片面追求升学率的思想指导下，一般学校拼命加课时，而南师附中则反其道而行之，一些学科减少课时，控制学生的课业负担。因此，他们的学生课外有时间看许多参考书，学校图书馆经常座无虚席。有的学生仅数学杂志就订了三四份，知识面很宽，所以他们课堂气氛很浓，经常能提出一些创造性的见解，甚至不同于教师或教材的说法，这样的同学数学基础是比较厚实的。

从许多数学家成才的道路来看，光靠课内也是不够的。

华罗庚教授少年时代在家乡金坛读初中时，课外得到他恩师王维克的很多指导，他经常从王老师家里借得一些数学书阅读，从中受到很多启发和教益，有一次他从一本数学杂志上看到一篇文章，说的是五次方程的代数解法。华罗庚经过钻研，发现这篇文章有错误，于是写了一篇文章，说明“五次方程代数解是不可能的”。他的这篇文章被当时清华大学数学教授熊庆来发现，在熊教授的推荐下，华罗庚得以到清华大学工作，从而正式走上了数学钻研的道路。

据陈景润自己介绍，他走上数论科研的道路，是和他小时候课外活动中听的数学老师一次关于哥德巴赫问题讲座分不开的。当时老师介绍了哥德巴赫问题，说数学是科学的皇后，而数论则是皇后所戴的皇冠，哥德巴赫问题则是这顶皇冠上的一颗宝珠。老师鼓励同学们说：“哥德巴赫问题还没有解决，摘取这颗光彩夺目的宝珠要靠在座的同学今后的努力。”老师的一席话，激发了少年陈景润攀登数论高峰的决心，最终把哥德巴赫问题推向最后的一步。

此为央视13集动画剧《少年陈景润》的宣传海报，该剧讲述了陈景润少年时期在逆境下矢志不移、艰难求学的感人故事。

由此可见，同学首先要把课内学习搞好，有条件的尽可能把作业在课内完成，课外根据自己的兴趣和爱好，在老师的指导下，尽量多看一些有关的读物，开拓自己的眼界，做到“课内打基础，课外出人才”。

* 王永建，1930年生，著名数学特级教师，探索规律，培育人才，结出丰硕成果，同时笔者不辍，发表了大量数学科普文章，著有《王永建数学教学文选》《生活中的数学》《世界之最（数学分册）》《数学的起源与发展》等书。

* 本文摘自《数学阅读精粹（第一册）》，江苏凤凰教育出版社，2016年6月。

为了改善学生的数学阅读状况，为他们提供优秀的数学精神食粮，江苏凤凰教育出版社《时代学习报》和《新高考》杂志编辑部，邀请专家名师编辑出版了《数学阅读精粹》系列图书，旨在帮助学生拓展数学视野、激发数学兴趣、培养数学思维、提升数学素养，同时满足学校开展数学阅读教学、活动之需。关于该图书的介绍，详情可点击“阅读原文”查看。

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数学专业心得体会篇4

上星期三下午最后一节是数学课，本来课上得好好的，可到了快下课时，却发生了一段“小插曲”。事情是这样的：

阳洋同学说他有一道题要考考数学老师，老师欣然答应了。阳洋的问题是什么数的138735684次方减去什么数的2752次方等于1。老师想了一会儿，想不出来。我和几位知道答案的同学都笑了，我大声告诉急得快团团转的老师，答案是1的138735684减去0的2752次方结果是1。老师听了，笑了起来。同学们也都笑起来，说老师上当了。我就开玩笑说：“老师，既然你答不出来，那么你得奖我们两颗糖！”这本来是开玩笑，可没想到老师却说：“我还真的有两颗糖呢。”说着，她从口袋里掏出两颗糖，问我们谁要。大家都说要，老师吃了一惊，说：“我还以为同学们会客气一下呢。”我说：“我们才不会客气呢！”马上有人说：“对啊，不用客气！”大家又笑了起来。

下课铃就在这时响了。老师走向办公室，我跟在她后面要糖，老师就给了我一颗，几个围上来的同学也向老师要糖。老师把糖扔过去给他们时，我眼疾手快，把在空中的糖打落在地，并迅速捡了起来，然后开始逃跑。好险，后面一个同学马上追了过来……老师站在后面，望着我们，笑了。

这就是我们班那平易近人、和蔼可亲的数学老师。

数学专业心得体会篇5

时间总是在不知不觉忙忙碌碌中悄悄地过去了，转眼即将迎来新的一年，回顾这一年的工作状况，有得也有失，现作如下总结：

一、政治思想职业道德方面

化理论为实际行动，处处以身作则，勇于开拓，用心积极，不怕困难，不怕挫折。平时，严格遵守学校的各项规章制度，从不迟到早退，用心参加学校组织的各项政治学习和活动，并认真做好笔记，认真学习新课程教学标准，学习其新的教学理念，使自己能适应不断发展的教育新形势。在教学中，我始终能以满腔的热情去关心热爱每一位学生，不对学生体罚或变相体罚，使他们在一个充满爱的环境下学习成长。

二、教育教学潜力方面

我担任学校的数学教学工作，作为一名小学数学教师，我深知基础教育的重要性，个性是近几年，在从应试教育向素质教育的转轨过程中，我更是注重学生素质的全面提高。平时，我认真备课，努力钻研教材，明确教学目的，突出教学重点，攻破教学难点，精心设计教学过程，采用生动活泼的教学手段，提高学生的学习兴趣。本学期，服从校领导安排我担任四年级的数学教学工作，低年级学生由于年龄较小，好奇好动，乐于模仿，教学中，我尽量设计一些贴合儿童心理的游戏，采取不同的教学方法，因材施教。

对于班级中成绩较好的学生，我尽量出一些思考题，以便他们用心思维，开拓他们的解题思路，提高他们的解题潜力，对于差生，我从不气馁，总是及时发现他们身上的闪光点，利用课余时间，耐心的帮他们补课，不厌其烦地教，鼓励学生不懂就问，端正其学习态度，努力提高学生学习成绩。在教学中，遇到难题，我总是及时的向经验丰富的教师请教，学习其优秀的教学经验，取长补短，努力提高自身的业务水平。

三、创新评价，激励促进学生全面发展。

始终把评价作为全面考察学生的学习状况，激励学生的学习热情，促进学生全面发展的手段，也作为教师反思和改善教学的有力手段。

对学生的学习评价，既关注学生知识与技能的理解和掌握，更关注他们情感与态度的构成和发展;既关注学生数学学习的结果，更关注他们在学习过程中的变化和发展。抓基础知识的掌握，抓课堂作业的堂堂清，采用定性与定量相结合，定量采用等级制，定性采用评语的形式，更多地关注学生已经掌握了什么，获得了那些进步，具备了什么潜力。使评价结果有利于树立学生学习数学的自信心，提高学生学习数学的兴趣，促进学生的发展。

四、抓实常规，保证教育教学任务全面完成。

坚持以教学为中心，强化管理，进一步规范教学行为，并力求常规与创新的有机结合，构成学生严肃、勤奋、求真、善问的良好学风。从点滴入手，了解学生的认知水平，查找资料，精心备课，努力创设宽松愉悦的学习氛围，激发兴趣，教给学生知识，培养了学生正确的学习态度，构成良好的学习习惯及方法，使学生学得搞笑，学得实在，向40分钟要效益;扎扎实实做好常规工作，做好教学的每一件事，切实抓好单元过关及期中质量检测。

一份耕耘，一份收获。总之今年我的教学工作苦乐相伴。今后我将本着“勤学、善思、实干”的准则，一如既往，再接再励，把工作搞得更好。

数学专业心得体会篇6

11月16日在温州市182义工协会的志愿者们带领下我们参加了儿童福利院的导读活动。

这是我第一次到儿童福利院，第一次参加这样的活动，第一次和这些儿童零距离接触，他们大多数是残疾儿童，内心有说不出来的感觉…以前没有想过，也没有意识到在我们的生活中还存在着这样一群需要我们去关心爱护的人，偶尔电视里看到，自己的心是要远离他们的。当他们真的出现在我的面前时，我的心被震撼了。

这次的活动主要是给小朋友们做古诗导读《前出塞》。在导读老师一遍遍的带动下，小朋友们都积极的跟读着“挽弓当挽强，用箭当用长……”当我们看到有些小朋友连完整的一句话都说不出来，却拼尽力气张大嘴哪怕只发出“呜呜”的声音时，真的几乎落泪。哪怕只能发出“呜呜”声，那也是他们在世界上发出的自己专属的、独一无二的声音。而看到孩子们因此而获得极大满足的笑脸，我们也笑了，却又忍不住的心酸。接下来就是是小朋友们最喜欢的自由活动时间，吃完美味的食物和水果。小朋友们有喜欢画画的，有随着音乐节奏跳舞的，有会做数学题的，还有几个主动和我们聊天的……很快就到了下午四点我们准备离开，孩子们依依不舍的拥抱和表情让我流下了眼泪，在心里暗暗的告诉自己，以后有时间一定要常常来看看他们，带着自己的心和爱来，在这里你付出一丁点就能收获全部的真诚。

参加这次活动后，让我感受到来自不同城市各行各业的爱，自己的意识在慢慢地觉醒，花一点时间，去帮助其他人是我们每个人都可以做到的！

数学专业心得体会篇7

金羊毛工作坊

投资者的私人订制

导读：1月31日上午，博鳌亚洲论坛副理事长、中国人民银行原行长周小川的新书《数学规划与经济分析》发布暨理论研讨会在北京举行。

“中国的经济理论研究还有很长的路要走，小川行长的这本书在方法论上给了大家很大启示。”朱民在发布会上评价指出。

?数学规划与经济分析》是一本关于经济学基本分析框架的著作，全书一共分为五大章节：第一，经济分析中的数学模型；第二，基本经济关系的数学表达与统计核算；第三，均衡、激励与机制设计；第四，信息系统特性与交易机制；第五，改革中不断呈现的议题。

“本书呈现的周行长一以贯之的市场化取向、激励相容的体制机制创新、系统论的研究视角等，已经成为央行人的思维方式，是我们分析思考问题的基本框架。”人民银行研究局局长徐忠指出。

下文为新书《数学规划与经济分析》的总序言，根据作者2018年7月27日在“用数学规划看经济体系”讲座的讲话整理。周小川在文章中指出，“以数学模型为基础的经济分析呈现为一片又深又蓝的知识与技能的海洋”。

来源：比较

原标题：周小川：用数学规划思维看经济体系

本文为周小川的新书《数学规划与经济分析》一书的总序言，根据作者2018年7月27日在“用数学规划看经济体系”讲座的讲话整理。

数学规划思维在经济分析中具有重要作用

经济主体的行为大多可以理解并表达成数学规划中的最优化问题。微观主体的行为往往是谋求把某件事做到最好，或者说是目标函数最大化或最小化。经济学中最典型的假设是，市场经济里的企业和个人都是谋求自身利益的，劳动者谋求自身收入和消费效用最大化，同时在劳动和休闲之间也有优化选择。企业行为最典型的描述是追求利润最大化，大多数常规企业都是这个目标。对于一个政府而言，往往是把gdp作为经济工作的主要目标，中国现在则强调不能唯gdp论，可考虑修订后的gdp或含有gdp又比gdp更综合的目标函数。总体而言，经济主体就是要追求某种最大化。如果用数学规划来考虑这些问题，会有很多优势，有些问题能够看得更透彻，并以一个更精确的角度来分析问题。

经济学里用的很多语言都是来自数学规划。回顾20世纪八九十年代我国的经济体制讨论，最重要的进展是党的十四大提出的“我国经济体制改革的目标是建立社会主义市场经济体制”，而对社会主义市场经济的主要经济学解释就是资源配置优化，用资源配置来论证为什么要搞社会主义市场经济。随后，党的十四届三中全会提出了“充分利用国际国内两个市场、两种资源”，也是资源优化配置。回顾四十年的经济体制改革历程，早期较多是从直觉出发搞农村联产承包责任制，而更深度的思维则逐步演化到资源优化配置。从最优化模型角度看，资源优化配置和承包责任制等激励机制之间其实是一种对偶关系，而对偶问题其实也就是线性规划的拉格朗日乘子问题。资源配置的约束条件与影子价格相对应。若要实现资源优化配置，就要把价格类激励机制搞对，这两者是互为影子的。一个国家资源配置的效率与优化程度是会带来重大区别的，最主要的资源是指劳动力、资本等生产要素，广义的生产要素还包括技术、管理、外汇(对发展中国家而言，外汇也是一种生产要素，外汇在一定程度上可替代稀缺的生产要素和物资，如果有大量的外汇储备，则很多紧缺性都可以缓解)等。资源配置的约束是需求应小于等于供给，当然供给不足也可以另外想办法。这些约束可以是紧约束，也可以是松约束。在数学规划中，若约束条件是松的，则其影子价格就是零。不少经济分析报告里常说某个约束条件是松弛的（slack），就是指虽然道理上有约束条件但却是松的，影子价格为零。如果是紧的话，其影子价格就不会是零，这是数学规划里给出的规律。

数学规划的基本概念

数学规划是一种寻找最优化的方法。典型的线性规划基于目标函数和约束条件，寻求目标函数的最大化或最小化的极值。约束条件又可以分为等式约束和不等式约束。目标函数与约束条件的表达分为线性和非线性。例如，在宏观经济模型中，等式约束可以是生产法gdp或支出法gdp等基本经济规律的恒等式；比较典型的不等式约束是劳动力、资本等生产要素的供求关系。

一是线性规划。线性规划的目标函数和约束条件都是线性的，好处是相对简单，有现成可用的计算机算法进行大规模线性规划求解。但现实中一些经济行为可能是非线性的，因此有可能出现对现实过分简化的情形。

二是非线性规划。非线性规划的计算复杂性大幅提高，且有可能不存在最优解，还要看整个约束条件集合是不是凸集。如果是凸集，那么就存在一种算法可以得出最优解；如果不是凸集，就可能不存在唯一最优解且不一定能有最优解算法。也就是说，不是沿着向上的方向走，就能找到最高点。非线性规划有两种简化处理方法：（1）对数线性化。一些经济问题由于是用指数的形式来描述的，虽然目标函数和约束条件不是线性的，但可以通过对数化表达实现线性，然后按照线性规划的方法去算。（2）分段线性化。整个问题可能是非线性的，但是如果对其作分段且每一段都可以按线性方式来描述，整合起来后，也可以按线性规划的算法进行运算。

三是动态规划。在理论和算法上，动态规划思维在处理长远问题时，可以寻求整体过程最优，不见得每个阶段是最优的。当前动态规划在经济模型中能够求得优化解的情形还是非常有限的，动态规划概念有两种用法：一种是将整体过程充分简化，找可用的算法去求解；还有一种是不存在直接求解的算法，但可以通过仿真模拟的方法对动态过程及其结果进行比较分析。

数学规划在经济分析中的具体问题

（一）目标函数

目标函数非常重要，只有清晰可度量的目标函数，才能评判事情干得好不好，同时也能分析出改变任何一个约束条件或行为，对于目标函数的成本是多少。例如，现在在发展经济过程中要考虑环境保护，一项特定的环保措施要付出多大的gdp当期代价；再如贸易摩擦又会产生多大的gdp成本。

现实中的目标函数往往是多目标的。在目标函数表达中，单目标最好理解和计量。一些国家中央银行曾强调以通胀为其工作的单一目标，但自2008年危机以来，全球央行基本上都认识到央行不能不管经济增长，也不能不管金融稳定。此外，金融机构出了风险，还要考虑救不救的问题。近期，美国又有研究挑战保尔森（henrypaulson）、伯南克（bens.bernanke），为什么在本轮危机初期不救雷曼。事实上，他们已经反复说过，不救雷曼是因为缺乏抵押品和道德风险平衡的考虑，之前已经救了贝尔斯登、房地美、房利美，马上又要救aig，但不能所有的金融机构都救，要避免道德风险，所以就只能牺牲一个规模相对小一些的金融机构，也就是雷曼。当时也没预测到雷曼倒闭后的震动会有多大。可见，单目标往往是对现实工作目标的过分简化。

多目标的可加性。多目标如果是线性可加的，技术上会类似于单目标。比如gdp看似单目标，其实包含多种商品货物和服务，且不论从生产方还是支出方来看，都是以价格加权而线性可加，所以不要简单认为gdp是单目标。但当人们关注一些社会、环境、道德等目标分量时，多目标是否能线性可加就会成为显著的挑战。

机构改革中的目标体系。图卢兹学派的拉丰（jeanjacqueslaffont）说过，规制包括目标、度量、激励和资源，目标在最前面，所以首先要弄清楚目标是什么。比如证监会的目标，究竟是维护股指还是保持投融资的公正性，以及保证交易的公平性。如果目标不清楚的话，就没法度量这个机构做得好还是不好；如果度量不清晰的话，激励也往往会扭曲。在2017年的全国金融工作会议中，明确要成立金融稳定委员会，中间就用到了目标、度量、激励以及资源这个框架思路。很多人不见得体会到这些概念和推理实际上来自数学规划和机制分析（institutionalanalysis）的框架。

多目标之间的冲突。多目标体系在写成目标函数表达式时，可以发现有些目标在优化方向上是一致的，另一些目标可能是相互冲突的，这能够帮助理解两难或者多难问题。过去我国政府曾给货币政策指明有四大目标，分别是低通货膨胀、经济增长、促进就业和国际收支大体平衡，后来又加上了推动改革开放和保持金融稳定。其中，经济增长和促进就业的重叠度是相当高的，有冲突的目标就是经济增长和低通货膨胀，但不是完全冲突。一旦写出目标函数，就可能发现冲突的目标不能够同时达到。“蒙代尔三角”表明，货币政策独立性、汇率稳定和资本自由流动三个目标不能同时达到。我们可以在写目标函数表达式细节的时候，体会出这三个目标是冲突的。当然，“蒙代尔三角”对现实的描述相对简化，实践中的汇率稳定和资本项目可兑换的定位可能并不那么理想化和单纯，但这个思路对决策者很有好处，它告诉决策者对于存在冲突的目标要有所取舍。应当看到，现实中存在不少冲突目标的事，多数情况下是两难决策，蒙代尔是三取二，可能还有四取三、五取四的情况，可以用数学规划及目标函数来理解。

多层次目标协调机制。线性规划可以运用拉格朗日函数，非线性规划可以运用库恩—塔克（kuhn-tucker）定理，把一个模型实现最优化所必须达到的条件组列出来，必须达到这组条件才能最优化，而条件组中涉及了拉格朗日乘子，即影子价格。也可以借助影子价格写出对偶模型，把拉格朗日条件改写成最优化目标，把目标写成约束条件组。长期以来，经济学的三部门模型，即政府追求gdp最大化、企业追求利润最大化、消费者（家庭）追求消费效用最大化，三者存在不同的目标。根据拉格朗日函数和库恩—塔克定理，意味着每个主体都有其自己单独的目标函数，但以分布式供求关系的信息构架和分散决策为代表的市场经济体制，能完全协调这三者不同的目标而融为一体。当然数学模型总有简化，现实描述则不能太简化，尽管如此，用数学规划方法仍可以找出普遍规律。数学规划加上拉格朗日函数、库恩—塔克定理的运用，可以发现多目标协调机制的数学解释是非常清晰的，且可以运用于实践。

（二）约束条件

约束条件在大的分类上有等式约束和不等式约束。等式约束可以体现为经济规律中的恒等式；不等式约束典型的例子就是资源配置。有人说，生产法gdp可能导致盲目扩大生产、产能过剩等问题，但如果把宏观经济模型翻译成数学规划模型，将生产法gdp作为目标函数、支出法gdp作为等式约束条件，也就是要求投资、消费和政府支出加上净出口，最后等于生产法所生产出来的商品，这意味着我们在寻求生产法gdp最大化时，不会发生生产出商品卖不出去的情况。同样，也可以在等式约束里放收入法gdp。总的来说，数学规划在生产法、支出法、收入法gdp中任选一个当目标，其他两个做等式约束条件，最终可以得出三种gdp在市场经济体制上可以不互相冲突。

（三）拉格朗日乘子和拉格朗日函数

拉格朗日问题可以衍生出对偶问题。对偶问题有两个方面：一方面是对偶模型，线性规划中的最大化必然有一个最小化的对偶模型，比如说企业利润最大化，对偶的影子就是成本最小化，所以两个模型之间可以相互翻译、互为影子。另一方面是等式约束和不等式条件约束对应的影子价格，比如在生产要素资源配置优化过程中，某一项要素条件的变化，对于实现目标函数都有一个成本，按经济学讲就是影子价格。因此，约束条件对应了用影子价格衡量的代价。企业多雇一个人，给他的报酬取决于多雇一个人对目标函数实现的边际增量（是边际而不是平均的）。经济学中边际的概念，可以更准确地描述为数学规划测度的影子价格问题。影子价格恰好是线性规划里的拉格朗日乘子。这个思维对经济分析是很有益处的。

拉格朗日函数可以将不同层次的数学规划联系起来。数学规划还有一个有意思的问题是大数学规划模型套小数学规划模型，小数学规划模型还可套更小的数学规划模型，用拉格朗日函数将数学规划问题转为函数形式就当作约束条件来用，对不同变量求导推导出一组优化条件，经济达到这组条件就实现优化配置。要实现优化配置，就要用影子价格做激励机制。顶层数学规划的条件组一部分是由次一层数学规划的拉格朗日函数转化成的。以消费者行为为例，消费者效用最大化是较低层的数学规划，可以优化出消费者效用最大化的行为，而消费者行为的约束条件，即消费者支出小于收入又是从另一个涉及劳动与休闲、储蓄与花销行为的优化模型推出来的，这样就把大的问题和小的行为问题联系起来了。2008年金融危机以后，出现了大量对宏观经济模型的批评，认为缺乏金融机构的行为，偏离现实。过去金融机构行为都被简化掉了，认为在制度条件下有存款就会都转化成贷款，不用考虑金融机构的行为，但危机表明，必须关注恐慌、惜贷等金融机构行为，否则经济分析就会出漏洞。这样，就有必要先构建金融机构自身行为的优化模型，通过拉格朗日函数及其关联，放到顶层的宏观模型中去。

总的来看，数学上还没有真正解决动态规划问题，因此动态规划处理复杂问题相对更困难，可以更多依靠模拟（simulation）来作比较分析，就像罗马俱乐部把世界几十年后环境资源无法承载的模拟结果展示出来。通过数学建模，能够发现很多问题，比如目标冲突、不可能性问题、对偶问题等，可以开拓思维，有很多研究题目可以继续深入。

此外，理解和运用数学规划也必然会联系到其他一些数学方法和模型。数据的收集、运用及其概念，都离不开经济社会统计及统计模型，经济规律的发现和参数化离不开计量模型；经济行为的描述越来越需要博弈论。搞好宏观经济工作常提到调控，涉及控制系统理论和信息论。以数学模型为基础的经济分析呈现为一片又深又蓝的知识与技能的海洋。

end

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